Hiperbolik Geometri & Eliptik Geometri

Hiperbolik Geometri Hiperbolik geometri Öklid geometrisinden bir belitle ayrılır.Öklid’in paralellik belitinin tersini doğru olarak kabul eden geometride bir doğrunun dışındaki bir noktadan birden çok (sonsuz) tane paralel doğru geçebilir. Ayrıca bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman iki tane dik açıdan küçüktür.

Kaynak: http://www.msxlabs.org/forum/matematik/21517-hiperbolik-geometri.html

Eliptik Geometri

Bu geometride bir düz çizgi için çizginin uzatılabilceği maksimum bir uzunluk vardır. Verilen iki noktadan daima birden fazla doğru geçer. Üçgenin içaçıları toplamı daima 180 dereceden büyüktür. Bir çemberin çevresinin çapına oranı daima Pi'den küçüktür.
Riemann bu geometriyi, aksiyomatik bir yaklaşımla gelştirmedi. Riemann'ın yaptığı Gauss'un geliştirdiği eğrilik (curvature) kavramını genelleştirmekti. Gauss yüzeylere ve onları betimleyen denklemlere çalışırken, geodezik kavramını oluşturmuştu. Geodezik, bir yüzeyde yer alan ve yüzeydeki iki nokta arasındaki en kısa çizgi olarak tanımlanabilir. Riemann, bir yüzey için geodezik'in doğasının, eğrilik olarak adlandırdığı, yüzeyin özelliğine bağlı olduğunu gösterdi. Örneğin küresel bir yüzey üzerinde bütün geodezikler benzerdir. Hepsi büyük çemberin yaylardır çünkü küresel yüzey tekbiçimli (uniform) ya da sabit pozitif eğriliğe sahiptir. Ancak bir elipsoidin yüzeyinde, geodezikler bütünüyle benzer değildir. Yüzeyin farklı alanlarında yer alan nokta çiftleri için farklılık gösterirler. Bu nedenle elipsoid değişken pozitif eğriliğe sahiptir denir.

Kaynak: http://alidogan33.com/guncel_detay.asp?id=55